By Juan Carlos Cabello Píñar

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En tal caso diremos que N es un complemento topológico de M y que M es un subespacio complementado. 1 Si X es suma directa de dos subespacios M y N y p es la proyección natural sobre M , entonces X es suma topológico-directa de los subespacios M y N si , y sólo si, p es continua. 28 Capítulo 1. Espacios normados. 2. Cociente de espacios normados. Sea M un subespacio de un espacio vectorial X. Consideremos en X la relación binaria R definida, para todo x, y ∈ X, por xRy si, y sólo si , x − y ∈ M.

Concretamente, en 1927 Banach y Steinhaus observaron que la prueba de Baire es perfectamente válida cuando Rn se sustituye, bien por un espacio métrico completo o bien por un espacio topológico localmente compacto Hausdorff. Estos dos últimos autores pusieron de manifiesto la utilidad del Teorema de Baire para simplificar ciertas pruebas que necesitaban de complicadas construcciones. Para ser más precisos, el resultado de Banach y Steinhaus, es el inicio de una herramienta imprescindible en el desarrollo del Análisis Funcional denominada método de la categoría de Baire, cuya base son los conceptos de “grandeza” y “pequeñez” de un subconjunto de un espacio topológico que definimos a continuación.

Para ser más precisos, el resultado de Banach y Steinhaus, es el inicio de una herramienta imprescindible en el desarrollo del Análisis Funcional denominada método de la categoría de Baire, cuya base son los conceptos de “grandeza” y “pequeñez” de un subconjunto de un espacio topológico que definimos a continuación. 1 Sea X un espacio topológico y A ⊂ X. Diremos que A es de primera categoría en X, (o pequeño), si A está contenido en una unión numerable de subconjuntos cerrados y con interior vacío en X.

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